一、数字特性
掌握一些基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。(下列规律仅限自然数内讨论)
(一)奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数;
偶数±偶数=偶数;
偶数±奇数=奇数;
奇数±偶数=奇数。
【推论】
1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数;如果和是偶数，那么差也是偶数。
2.任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反;和或差是偶数，则两数奇偶相同。
(二)整除判定基本法则
1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
能被2(或5)整除的数，末一位数字能被2(或5)整除;
能被4(或 25)整除的数，末两位数字能被4(或25)整除;
能被8(或125)整除的数，末三位数字能被8(或125)整除;
一个数被2(或5)除得的余数，就是其末一位数字被2(或5)除得的余数;
一个数被4(或 25)除得的余数，就是其末两位数字被4(或 25)除得的余数;
一个数被8(或125)除得的余数，就是其末三位数字被8(或125)除得的余数。
2.能被3、9整除的数的数字特性
能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除。
一个数被3(或9)除得的余数，就是其各位相加后被3(或9)除得的余数。
3.能被11整除的数的数字特性
能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。
(三)倍数关系核心判定特征
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a是m的倍数;b是n的倍数。
如果x=mny(m，n互质)，则x是m的倍数;y是n的倍数。
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a±b应该是m±n的倍数。
二、乘法与因式分解公式
正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc;
逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c;(又叫“提取公因式法”)
平方差：a^2-b^2=(a-b)(a+b);
完全平方和/差：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2;
立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);
立方差：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);
完全立方和/差：(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3;
等比数列求和公式：S=a1(1-q^n)/(1-q) (q≠1);
等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。
三、三角不等式
丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨;丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨;丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨;-丨a丨≤a≤丨a丨;丨a丨≤b?-b≤a≤b。
四、某些数列的前n项和
1+2+3+…+n=n(n+1)/2;
1+3+5+…+(2n-1)=n^2;
2+4+6+…+(2n)=n(n+1);
1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=n(4n^2-1)/3
1^3+2^3+3^3+…+n^3==(n+1)^2*n^2/4
1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
1×2+2×3+…+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3
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