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第四讲 期望效用与随机占优
效用理论理论是经济学的基本概念，它可以被用来解释商品的定价问题。消费者的效用函数决定了他怎样在不同的商品之间做出选择。消费者对某种商品的选择的全体构成了社会对商品的总需求；厂商也根据自己的效用函数制定该商品的产量，所有厂商的总产量构成了社会对该商品的总共给，当总供给与总需求相等时，该商品的价格就确定下来。如果将经济学的效用理论应用于金融领域，不难发现，效用理论同样也是金融资产定价的重要工具。以下我们分别给出序数效用和基数效用的基本理论。
一、序数效用
效用被定义为快乐或满足程度的数字度量。显然，效用大化是投资者和消费者的目的。根据决策的性质，我们将个体理解为消费者或投资者，这里的个体并不一定是单个的人，他是一个决策的主体。我们将个体面临的所有选择构成的集合称为选择集，以下记选择集为
。我们要求
是一个凸集，即若
（
），则组合
其中：
一般的，我们假定
。
对任意的
，
意味着
至少不比
差。如果
且
，则称
无差异，记为：
。如果
，且
不成立，则称
严格优于
，记为：
。
我们假定偏好满足如下的三个公理：
公理1：对任意的
，
。
公理2：对任意的
，
与
至少有一个成立。
公理3：对任意的
，
且
注：（1）上面的三个公理说明“
”满足：自反性、对称性、传递性；称这样的偏好关系“
”为理性偏好关系，此时
关于“
”成为一个全序集。
（2）偏好关系“
”是个体决定的，相同的选择集
上有多个偏好关系；类似的，下面的效用函数也有多个。
定义：效用函数
是满足下列条件的函数：
给出反例说明：仅满足以上面三个公理的选择集
上可能不存在效用函数。为此，我们需要增加公理以保证
总存在效用函数。
公理4：对任意的
且
；
，则：
注：公理4称为“保序性公理”，它保证了
的序关系可以扩大到
的凸组合上去。
公理5：对任意的
，如果
，则存在唯一的
，使得：
注：在
上定义序关系：
；称这个序关系为
上的字典序；显然，字典序可以推广到
上。可以证明：字典序满足公理1-4，但不满足公理5。
公理6：存在
满足：对任意的
，
成立。
注：公理6称为“有界性公理”。
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