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在金融的文献中大多直接假定效用函数满足问题所需要阶数的可微性。
我们给出一个经济学中典型的例子来说明效用函数的应用。
假定消费者面临市场中的
种商品或劳务，价格向量为：
投资者的消费约束为：
其中
为财富。我们假定
是确定的，且消费者在
上的偏好关系满足上面的公理1-9，故消费者的效用函数
是连续的；注意到
是
中的紧集，所以
在
上存在大值，即优消费决策问题有解。
二、基数效用
前面的序数效用中涉及到的选择
是确定的，因此每个选择
都是
中确定的向量。当投资者对金融资产进行选择时，选择结果往往是不确定的；例如：投资者购买的股票可能带来收益也可能带来亏损；投资者在这些具有随机性的环境中做出选择时，根据的仍是其对不确定选择的“偏好”。因此，为了分析随机环境下的效用函数，我们需要先将选择集和偏好关系扩大到随机环境中去。
我们首先讨论简单的不确定性选择集。假定选择集
只有两个不同的输出结果
。每一个选择（也形象地称为彩票
）都对应了以概率
出现结果
，以
出现结果
，并记为：
。选择集
是所有这些选择的全体。为了后面讨论得以进行，我们假定
满足四个基本假定，它们的含义是自明的：
假定1：
假定2：
注：
和
的含义是：“以概率1获得
”和“以概率0获得
”。
假定3：
假定4：
与序数效用的情形类似，我们假定
上存在偏好关系
、严格偏好关系
、无差异关系
，且有下面的公理：
公理
：对任意的
，
。
公理
：对任意的
，
与
至少有一个成立。
公理
：对任意的
，
且
公理
：对任意的
，
且
，则：
公理
：对任意的
，如果
，则存在唯一的
，使得：
公理
：存在
满足：对任意的
，
成立。
注：（1）由于前面的4个假定，上面的公理
-
中没有出现
的两个输出结果
。
（2）如果将
理解为
，由序数效用函数存在定理可知在
上存在序数效用函数。
为了得到基数效用函数，我们需要下面的：
公理
：设
，且
；对任意的
及任意的
，
注：公理
称为强独立性公理，它强于公理
。强独立性公理的含义是：当个体的选择由独立的两部分构成，其中一部分相同时；个体的对该选择的偏好由另一部分决定；或等价的，在原来的序关系
下，加入相同的不确定选择
，序关系仍然保持。
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