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五、随机占优
效用函数和风险厌恶的度量参数都是针对单个投资者的，因此基于某个效用函数得出的两个不同策略的优劣只对拥有这个效用函数的投资者有效。在投资问题中，寻找对具有某一类效用函数的投资者都更优的策略有重要意义。我们可以将效用函数分类，找出每一类中占优策略的特征。
设
是具备某种特征的效用函数的集合，随机变量
是选择集中的两个选择，称
随机占优于
，如果对任意的
，
成立，用
表示。
注：（1）随机占优选择与
紧密相关。
（2）“
”不是选择集上的全序关系，因为并非任意的
都满足条件：
，
至少有一个成立。
假定
则
成立时，称
一阶随机占优于
，记为
。如果
则
成立时，称
二阶随机占优于
，记为
。我们有下面的判定定理。
定理：假定
为两个只在有限区间上取值的随机变量，它们的分布函数分别为：
则：
（1）
（2）
证明：（1）由定义：
而： 
因此，由
的任意性可知上式等价于：
否则，若：
存在
由于分布函数是右连续的，因此存在一个区间
，使得在
上
也成立，取任意的满足在
上
的效用函数
，则：
矛盾，因此结论成立。
（2）将（1）的后一步：
变
形为：
类似的，由
的任意性可知：
成立。
注：（1）条件：“
为两个只在有限区间上取值的随机变量”是为了保证
及它们的函数的期望、方差都存在。
（2）取
，则
，因此
。
（3）注意：
，但与
是不同的。
（4）与一阶占优不同，由
不能推出
。
（5）如果将
理解为甲乙金融资产的收益率，则一阶和二阶随机占优只是说，投资者将所有资金投资于甲资产的选择优于将所有资金投资于乙资产的选择；实际中，投资者一般会将资金在甲乙之间作一个分配，即组合投资，因此上面的两种极端的投资方式都不是优的。
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