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国家电网校园招聘考试金融学讲义和模拟试题(34)

2015-08-29 00:30:38 福建事业单位考试文章来源：福建事业单位招聘网公众号 QQ群华图在线APP

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债券利率风险的度量：久期与凸度
利率风险是指市场利率发生不利变动引起的收入的减少、成本的增加、或投资价值下降的风险。在债券市场或更广泛的固定收益证券市场中，投资者考虑多的风险是利率风险。由于利率风险是导致债券市场价格波动的主要风险，因此在债券市场中利率风险也称为市场风险。
与其他金融资产的价格不同，市场利率是一个体系。不同信用评级借款人的借款利率不同，不同期限的收益率也不同，所以利率的波动比大多数金融资产价格的波动更复杂。
通常将利率波动的方式归纳为以下三种：
（1）利率总体水平的波动；
（2）相关利率的波动；
（3）长期利率相对于短期利率发生波动。从图形上看，收益率曲线发生了扭动。
利率的波动有一定的周期性，原因是经济周期的存在；当经济处于衰退期时，利率较低，而处于高涨时期，利率较高。
久期概念的提出，解决了债券多次支付导致的“期限”含糊不清的问题。久期被定义为债券的多次现金流的期限经加权平均得到的平均期限，这一个期限测度了债券价格对利率变化的敏感性。
久期（）是久期中应用广泛的一个，它是
于1938年首先给出的。设债券的价格为，时的现金流为，则期限在久期中的权重为：。这里y为该债券的到期收益率。由债券的定价公式可知，所有期限的权重之和为1。久期的定义是：

它是债券所有现金流发生时间的加权平均值。为了度量收益率的变化对债券价格的变化的影响，我们引入修正久期的概念。将P理解为y的函数，两边对y求导数得：
　　　　　　　　
修正久期（）的定义是：

与相比较可得：

注：如果将用连续复利表示，则债券价格，我们可以得到
久期的另一个解释。此时久期的表达式变为：

因此：在不考虑负号的情况下，修正久期和久期分别是对数价格对和的导数。
由于修正久期与久期的表达式接近，因此二者的基本性质也很接近，以下对久期的分析对修正久期也基本适用。
假定固定息票债券一年付息一次，票面利率为，面值为1，剩余到期期限为年（为整数），到期收益率为，则债券价格为：
　　　　　。
因此：　　　　

将P的表达式代入，整理得：

从上式可以看出越大，越小。特别的，如果附息债券的到期收益与相等，此时的形式很简单：

用同样方法，我们可以分析y的变化对的影响。假定与y无关（）。仍考虑整数付息周期的情况，由：
，
可得：

上式括号中的项为的加权平均值；如果把理解为一个随机变量，它的取值为，相应的概率为，那么括号中的两项之差恰为的方差，因此是非负的，故与是反向变动的。
当的变化量很小时，修正久期可以很好地度量；但当较大时，仅用久期度量将会产生较大偏差，需要引入修正凸度（）的概念。修正凸度的定义为：
由定价公式可得：。因是正的，故P与的关系曲线是凸的，且越大，曲线越弯曲。应用展开，我们得到：
　　　　
等式左边为债券价格的变化率；右边项为修正久期度量的一阶变化量，第二项为修正凸度量的二阶变化量，第三项是误差项。用修正久期和修正凸度来预测收益率变动对价格变化的影响，本质上是用二次曲线对债券的价格收益的曲线近似，即：

注：类似的，我们有凸度（）：和表达式：
注：（1）尽管久期和凸度是在固定收益证券中定义的，但读者不难发现它们适用于更广泛的金融领域，因为在它们的定义中没有限制现金流的形式，见后面关于可赎回债券的讨论。
（2）实际中久期和凸度的定义远不止上面的两种，下面给出一些其他的久期和凸度：
1、美元久期与美元凸度：

美元久期与美元凸度可用于度量到期收益率的变动对债券价格变动的影响。
息票曲线久期：

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