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• 三、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用普遍布朗运动来描述。但由于投资者关心的是证券价格的变动幅度而不是变动的绝对值，因此我们可以用证券价格比例的方式来定义证券价格的布朗运动：
(13.25)
• 其中S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利计算的期望收益率(又称预期收益率)， 表示证券收益率单位时间的方差， 表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率(Volatility)，dz遵循标准布朗运动。
• 从(13.21)和上式可知，在短时间后 ，证券价格比率的变化值为：
• 则可得 (13.26)
• 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。相反，证券价格的波动率对于衍生证券的定价则是相当重要的。
• 应该注意的是，由于比例变化不具有可加性 ，因此我们并不能象以前一样推导出在任意时间长度T后证券价格比例变化的标准差为 。
四、伊藤过程和伊藤引理
• 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式(13.24)得到伊藤过程(Ito Process)：
(13.27)
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
• 在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
• (13.28)
公式(13.28)就是著名的伊藤引理。
• 从式(13.25)中，我们可得：
(13.29)
• 我们知道，衍生证券的价格是标的证券价格S和时间t的函数。根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
(13.30)
• 比较式(13.29)和(13.30)可看出，衍生证券价格G和标的证券价格S都受同一个基本的不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。
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