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五、证券价格自然对数变化过程
• 我们可用伊藤引理来推导证券价格自然对数lnS变化所遵循的随机过程。
• 令
我们就可得出证券价格对数G所遵循的随机过程为:
• 令t时刻G的值为lnS,T时刻G的值为lnST,其中S表示t时刻(当前时刻)的证券价格,ST表示T时刻(将来时刻)的证券价格,则在T-t期间G的变化为: lnST- lnS
这意味着: (13.31)
• 根据正态分布的特性,从式(13.31)可以得到:
(13.32)
• 这表明ST服从对数正态分布。lnST的标准差与成比例,这说明证券价格对数的不确定性(用标准差表示)与我们考虑的未来时间的长度的平方根成正比。这就解决了前面所说的证券价格比例变化的标准差与时间不成正比的问题。
• 根据式(13.32)和对数正态分布的特性,可知ST的期望值E(ST)为:
• 这与作为预期收益率的定义相符。ST的方差var(ST)为:
第四节 布莱克——舒尔斯期权定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程
推导布莱克——舒尔斯微分方程需要用到如下假设:
• 证券价格遵循几何布朗过程,即和为常数;
• 允许卖空标的证券;
• 没有交易费用和税收,所有证券都是完全可分的;
• 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付;
• 不存在无风险套利机会;
• 证券交易是连续的,价格变动也是连续的;
• 在衍生证券有效期内,无风险利率r为常数。
• 实际上,有些假设条件我们可以放松,如、和r可以是t的函数。
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